搜索文章(本站社区改版不再提供分类，你有需要查找的资源可以点击搜索！)

欧几里得“几何原本”

来源：几何原本PDF发布用户：网络洗衣粉更新时间：2021-08-31 20:04:27

《几何原理》也称《几何原本》［Elements］由希腊数学家欧几里得［Euclid,公元前300年前后］所着,是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范.是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著.

快半年的时间大致上把这本书的证明都过了一遍，有读读就算了的，也有自己另辟蹊径的，也有顺着Euclid思路认真做demonstration的。前四本书的小总结春假写过了，后九章节的大体再挑几个重要的点记录一下。

从Book V开始进入变态章节，用语言证明比例(ratio)的存在和成立。在这一章节的证明中，tutor很认真的要求所有人避免使用代数(algebra)的计算，不能用数字简单的代替字母，于是就把很简单的人人都知道的定理展现的非常绕，譬如比例中内项之积等于外项之积，要证明为什么就是件很纠结的事情。另外这本书中Euclid也有些很奇葩的思路，好奇的人可以翻一翻Prop9 of Book V，看完了之后只想说WTF......

Book VI 是比例(ratio)与几何图形之间的联系，可以说是把一维线状关系延伸到二维图形的应用。Book VII 才正式引入数字(number)的存在。关于Book V和Book VII，比例和数字谁先谁后的顺序问题，专门写了一篇论文论述，同时实验课上学Boyle's law时帮我理清了思路，放个链接，不赘述。

总之，比例是物与物之间真正的联系，数字是人所习惯使用的一种表达，也是一个比例的代表(representation of ratio)。当数字引入的之后，基本的乘法法则在这里得到了证明，我们知道A*B=B*A，这也是Euclid在一维当中证出来的(prop16)。

BookVIII-BookXII，跳着读的比较厉害，挑个有意思的地方记录下：

1, Book X中其实有了无理数的苗头了，Euclid给了数字定义，并且论述了关于合数、素数等的关系，当他提到二维可以commensurable，一维则不行的时候，这就是无理数的开端。这个地方可以参阅Book X, Prop9的Porism。

2, Book XI definition 2: An extremity of a solid is a surface. Tutor冷不丁问了一句：最少多少个三角形可以构成一个几何体(how many triangles in minimum could make a solid? )开始觉得这问题怪怪的，两个三角形不就行了吗，叠加之后不就有了深度(depth)，然后是一个几何体(solid)么。tutor说不，我看不到深度(depth)，这不算。他的意思是至少四个三角形构成四面体的时候，才能说是几何体(solid)，而这个solid的每个extremity都是一个平面(surface)。其实这句话也是BookI中关于点线面的概念延伸，由二维到三维的一个开端。

Book XIII的证明都偏长，动不动就2-3pages一道证明题，而前面的证明都是为了给全书最后一个证明铺路，虽然读到最后我也没明白全书最后一个证明的意义在哪里。而且最后一个证明明明是一个构建(construction)，但最后的标注是QED而不是QEF，还是没想明白，留个悬疑在这里。

学完Euclid，最大的感慨应该是：不要相信肉眼所见，所见未必真实。就算你看着三个点在一条直线，两个图形在一个平面，那也不行，要一步一步严谨的证明出来。而我们所见是给我们智识(intelligence)提供的一个线索(hint)，它给我们思想的火花，让我们思考、证明、结论。

关于文章须知

声明：该文章内容来自互联网和网友投稿，文章内容真实性无从参考请勿用于文献引用，如有侵权请联系我们删除!

上一篇：微积分学教程全三卷

下一篇：轩子巨2兔30分钟助眠

搜索文章(本站社区改版不再提供分类，你有需要查找的资源可以点击搜索！)

欧几里得“几何原本”

相关文章